题目内容

已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，∠ACB=30°，DE⊥BC，DE= $数学公式$ ．
（1）求BD、AC的长；
（2）求S_梯形ABCD=？

解（1）过A作AF⊥BC，
∵DE⊥BC，AD∥BC，
∴四边形AFED是矩形，
∴AF=DE= $\text{[math]}$ ，

∵∠B=30°，
∴AC=2AF=2 $\text{[math]}$ ，
∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠DBC=∠BDE=45°，
∴BE=DE= $\text{[math]}$ ，
在直角三角形BED中，BD= $\text{[math]}$ =2，
答：BD、AC的长分别是2，2 $\text{[math]}$ ；
（2）∵AF= $\text{[math]}$ ，∠ABC=60°，
∴tan60°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴BF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴EF=BE-BF= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴AD=EF= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∵AC=2 $\text{[math]}$ ，AF= $\text{[math]}$ ，
∴CF= $\text{[math]}$ ，
∴BC=BF+CF= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1．
分析：（1）过A作AF⊥BC，由题意可知四边形AFED是矩形，在直角三角形AFC中利用30°角即可求出AC的长，在直角三角形BED中利用勾股定理即可求出BD的长；
（2）由（1）中的数据利用梯形的面积公式即可求出S_梯形ABCD的值．
点评：本题考查了梯形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理和梯形的面积公式的运用，题目的综合性比较强．