题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=
，OC=1．矩形OABC绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE．点A的对应点为点F
，点O的对应点为点D，点C的对应点为点E，且点D恰好在y轴上，二次函数y=ax2+bx+2的图象过E、B两点．（1）请直接写出点B和点D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）在x轴上方是否存在点P，点Q，使以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据OA=
，OC=1，可得出点B的坐标，根据函数解析式可得出点D的坐标；
（2）过点E作EM⊥于BC点M，根据旋转角度可得出∠EBM=60°，结合BE=
，可得出点E的坐标，将点E和点B的坐标代入可得出二次函数解析式；
（3）设点P的坐标为（x，-
x2+
x+2），然后根据平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，可得出x的值，继而可求出点P的坐标及点Q的坐标．
解答：解：（1）∵OA=
，OC=1，
∴点B的坐标为（
，1），
根据二次函数解析式为y=ax2+bx+2，可得点D的坐标为（0，2）；
综上可得点B的坐标为（
，1），点D的坐标为（0，2）．
（2）过点E作EM⊥于BC点M，
∵∠EBM=60°，BE=
，
∴BM=
，EM=
，
∴CM=BC-BM=
-
=
，
∴点E的坐标为（
，
），
将点E及点B的坐标代入可得：
，
解得：
，
故函数解析式为y=-
x2+
x+2；
（3）存在．
设点P的坐标为（x，-
x2+
x+2），
∵平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，
∴
×（-
x2+
x+2）=2
，
解得：x1=
，x2=0，
当x=0时，点P的坐标为（0，2），此时点Q的坐标为（
，2）或（-
，2）；
当x=
时，点P的坐标为（
，2），此时点Q的坐标为（
，2）或（-
，2）；
点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、旋转角度、解直角三角形及平行四边形的性质，综合性较强，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的内容，仔细理解题意，将所学的知识融会贯通，难度较大．
，OC=1，可得出点B的坐标，根据函数解析式可得出点D的坐标；（2）过点E作EM⊥于BC点M，根据旋转角度可得出∠EBM=60°，结合BE=
，可得出点E的坐标，将点E和点B的坐标代入可得出二次函数解析式；（3）设点P的坐标为（x，-
x2+
x+2），然后根据平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，可得出x的值，继而可求出点P的坐标及点Q的坐标．解答：解：（1）∵OA=
，OC=1，∴点B的坐标为（
，1），根据二次函数解析式为y=ax2+bx+2，可得点D的坐标为（0，2）；
综上可得点B的坐标为（
，1），点D的坐标为（0，2）．（2）过点E作EM⊥于BC点M，
∵∠EBM=60°，BE=
，∴BM=
，EM=
，∴CM=BC-BM=
-
=
，∴点E的坐标为（
，
），将点E及点B的坐标代入可得：
，解得：
，故函数解析式为y=-
x2+
x+2；（3）存在．
设点P的坐标为（x，-
x2+
x+2），∵平行四边形OAPQ的面积是矩形OABC面积的2倍，
∴
×（-
x2+
x+2）=2
，解得：x1=
，x2=0，当x=0时，点P的坐标为（0，2），此时点Q的坐标为（
，2）或（-
，2）；当x=
时，点P的坐标为（
，2），此时点Q的坐标为（
，2）或（-
，2）；点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、旋转角度、解直角三角形及平行四边形的性质，综合性较强，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的内容，仔细理解题意，将所学的知识融会贯通，难度较大．
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