Question

（2010•房山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=AB=2，点E是AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G，交BC于点K，过点K作KM⊥AD于M．
（1）当E为AB中点时，求

DM

DG

的值；
（3）若

AE

AB

=

1

3

，则

DM

DG

的值等于

2

5

；
（6）若

AE

AB

=

1

n

（n为正整数），
则

DM

DG

的值等于

(n-1)2

n2+1

（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）连接GE，根据垂直平分线的性质和已知条件证明△KMG≌△DAE，设GE=GD=x，在Rt△AEG中，利用勾股定理求出x的值，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出

DM

DG

的值；
（2）根据

AE

AB

=

1

3

，得出AE=

2

3

，由勾股定理得（2-x）²+（

2

3

）²=x²，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出

DM

DG

的值；
（3）根据

AE

AB

=

1

n

，得出AE=

2

n

，由勾股定理得（2-x）²+（

2

n

）²=x²，因为DM=GD-GM，所以可以求出DM的值，进而求出

DM

DG

的值；

解答：解：（1）连接GE．
∵KM⊥AD，KG是DE的垂直平分线
∴∠KMG=∠DFG=90°
∴∠GKM=∠GDF
∵MK=AB=AD，∠KMG=∠DAE=90°
∴△KMG≌△DAE
∴MG=AE
∵E是AB中点，且AB=AD=2
∴AE=MG=1
∵KG是DE的垂直平分线
∴GE=GD
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+1²=x²
∴x=

5

4

，
∴DM=GD-GM=

1

4

，
∴

DM

DG

=

1

5

；

（2）若

AE

AB

=

1

3

，
则AE=

2

3

，
∴AE=MG=

2

3

，
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（

2

3

）²=x²
∴x=

10

9

，
∴GD=

10

9

，
∴DM=GD-GM=

4

9

，
∴

DM

DG

=

4 9

10 9

=

2

5

；

（3）若

AE

AB

=

1

n

，
则AE=

2

n

，
∴AE=MG=

2

n

，
设GE=GD=x
则AG=2-x
在Rt△AEG中，∠EAG=90°，
由勾股定理得（2-x）²+（

2

n

）²=x²
∴x=

n2+1

n2

，
∴GD=

n2+1

n2

，
∴DM=GD-GM=

(n-1)2

n2

，
∴

DM

DG

=

(n-1)2 n2

n2+1 n2

=

(n-1)2

n2+1

．
故答案为：

2

5

，

(n-1)2

n2+1

．

点评：此题考查了梯形，用到的知识点是梯形的性质、勾股定理、线段的中垂线的性质，关键是设出未知数，表示出线段的长，利用勾股定理列出方程，求出x的值．