Question

（2004•锦州）某乡薄铁社厂的王师傅要在长25cm，宽18cm的薄铁板上截出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆，他先画了草图，但他在求小圆的半径时遇到了困难，请你帮助王师傅计算出这两个小圆的半径．

Answer 1

【答案】分析：根据题意：要在薄铁板上截出一个最大的圆，需使圆的半径为矩形的宽的一半，即9．根据图示，可得关于大圆与小圆半径的关系，列出关系式，进而可求得小圆半径．此题的关键在于画出关系图，写出关系式．
解答：解：设⊙O，⊙O₁与矩形的一边的切点分别为B，C（如图所示）．
连接OB，O₁C，OO₁，过O₁作O₁A⊥OB，垂足为A，
由题中条件易知⊙O的直径为18cm，
于是OB=9cm；
设⊙O₁的半径为r，则O₁C=r．
由∠OBC=∠O₁CB=∠O₁AB=90°，
得四边形AO₁CB是矩形，AB=O₁C=r．
又OO₁=OB+r=9+r，BC=25-9-r，AO₁=BC，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=AO²+AO₁²，
即（9+r）²=（9-r）²+（25-9-r）²，
解这个方程得r₁=4，r₂=64．
∵64＞18，
∴r=64不合题意，取r=4，
即小圆的半径为4cm；

另解：如图，连接OO₁、O₁O₂、O₂O，则△OO₁O₂是等腰三角形．
作OA⊥O₁O₂，垂足为A，则O₁A=O₂A．…2分
∵薄铁板的宽是18cm，
∴大圆的半径是9cm．设小圆的半径为xcm，
则OO₁=9+x，O₁A=O₁O₂=（18-x-x）=9-x，OA=25-9-x，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=OA²+O₁A²，即（9+x）²=（9-x）²+（25-9-x）²．…5分
整理，得x²-68x+256=0．解得x₁=4，x₂=64．…8分
∵x₂=64＞9，不合题意，舍去．∴x=4．
答：两个小圆的半径是4cm．…10分
点评：本题考查圆与圆外切时两圆的位置关系及圆心距与两圆半径间的关系，解答此类题关键是通过图形找到等量关系．