Question

如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，

(1)求证：△ABE∽△ADB；

(2)求AB的长；

(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

解：(1)证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，                       …………1分

∵∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D，                       …………2分

又∵∠BAE=∠EAB，

∴△ABE∽△ADB，                   …………3分

(2) ∵△ABE∽△ADB，

∴，                             …………4分

∴AB²=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(2＋4)×2=12      …………5分

∴AB=．…………6分                   

(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：

连接OA，   …………7分

∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=90°，

∴，

BF=BO=，…………8分

∵AB=，

∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，

∴直线FA与⊙O相切．…………9分