Question

如图，△ABC₁中，∠BAC₁=30°，∠AC₁B=90°，BC₁=a，以AC₁为斜边作Rt△AC₁C₂，使∠C₁AC₂=30°，再以AC₂为斜边作Rt△AC₂C₃，使∠C₂AC₃=30°，再以AC₃为斜边作Rt△AC₃C₄，使∠C₃AC₄=30°，如此下去，得到的△AC_nC_n+1的面积为

3n

22n+1

3

a²

．

Answer 1

分析：首先计算得出△ABC₁的面积，进一步利用含30°角的直角三角形的特性以及勾股定理求得Rt△AC₁C₂和Rt△AC₂C₃的面积，找出规律得出结论．

解答：解：在△ABC₁中，
AC₁=

(2a)2-a2

=

3

a，
S_△ABC1=

3

2

a²；
在Rt△AC₁C₂中，
CC₁=

3

2

a，AC₂=

( 3 a)2-( 3 2 a)2

=

3

2

a，
S_△AC1C2=

3

22+1

3

a2；
在Rt△AC₂C₃中，
出C₂C₃=

3

4

a，AC₃=

( 3 2 a)2-( 3 4 a)2

=

3

4

3

a²，
S_△AC2C3=

32

22×2+1

3

a²；
…
∴△AC_nC_n+1的面积为

3n

22n+1

3

a²．
故答案为：

3n

22n+1

3

a²．

点评：此题考查勾股定理、含30°角直角三角形的性质以及三角形的面积等知识点．