题目内容
（创新题）．我们使用的三角板中有30°，45°，60°和90°特殊角，我们规定：由一副三角板中的角加，减所得的角称之为”半特殊角”．如135°=90°+45°等．如图是由两块斜边等长的三角板拚凑而成的，（1）写出图中所有的小于平角的”半特殊角”和它们的度数；
（2）利用图求sin15°的值；
（3）将图中含30°角的直角三角板沿AB翻折得△ABC1，再作△ABC关于AB中点O的中心对称△ABC2，连AC2，BC1，线段DC2，DC1分别交AB于F，G，画出图形，指出其中的两对相似三角形，并求出其中一对相似三角形的相似比．
分析：（1）根据题意得到三角形ABD为等腰直角三角形，三角形ABC为含30°的直角三角形，根据题中的新定义，利用特殊角的加减即可得到∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；
（2）过E作EF于AB垂直，令AD=BD=a，设EF=x，在直角三角形ABD中，根据勾股定理表示出AB的长，判定出三角形BEF为等腰直角三角形，得到EF=BF=x，根据30度角的正切值，由EF=x，表示出AF的长，由AF+FB=AB列出等式，用含a的式子表示出x，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AE=2x，表示出AE，用DB-BE表示出DE，在直角三角形ADE中，由正弦函数的定义：对边比斜边即DE比AE即可求出sin15°的值；
（3）根据题意画出图形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到点A，D，B，C1，C2都在以AB为直径的圆上，根据同弧所对的圆周角都相等得到∠ADC2=∠ABC2=∠BAC1=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC1A=45°，然后由两对对应角相等的两三角形相似，得到△ADF∽△C1AG，△ADC2∽△FDA，设AD=BD=a，利用勾股定理表示出AB，在Rt△ABC1中，利用30度角的余弦函数定义表示出AC1，用AD：AC1即可求出△ADF与△C1AG的相似比．
（2）过E作EF于AB垂直，令AD=BD=a，设EF=x，在直角三角形ABD中，根据勾股定理表示出AB的长，判定出三角形BEF为等腰直角三角形，得到EF=BF=x，根据30度角的正切值，由EF=x，表示出AF的长，由AF+FB=AB列出等式，用含a的式子表示出x，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AE=2x，表示出AE，用DB-BE表示出DE，在直角三角形ADE中，由正弦函数的定义：对边比斜边即DE比AE即可求出sin15°的值；
（3）根据题意画出图形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到点A，D，B，C1，C2都在以AB为直径的圆上，根据同弧所对的圆周角都相等得到∠ADC2=∠ABC2=∠BAC1=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC1A=45°，然后由两对对应角相等的两三角形相似，得到△ADF∽△C1AG，△ADC2∽△FDA，设AD=BD=a，利用勾股定理表示出AB，在Rt△ABC1中，利用30度角的余弦函数定义表示出AC1，用AD：AC1即可求出△ADF与△C1AG的相似比．
解答：解：（1）∵∠DAB=∠DBA=45°，∠CAB=30°，∠CAB=60°，∠D=∠C=90°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=45°-30°=15°，∠DBC=∠CAB-∠DBA=60°-45°=15°，
由∠AED为三角形ABE的外角，
∴∠AED=∠CEB=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°，
由∠DEC为三角形ADE的外角，∠AEB为三角形AED的外角，
∠DEC=∠AEB=∠DAC+∠D=90°+15°=105°，
综上，∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；
（2）过E作EF⊥AB于F点，
令AD=BD=a，EF=x，
则AB=
a，BF=EF=x，AF=
x
∴（
+1）x=
a，
解得：x=
，
那么AE=2x=（
-
）a，
DE=a-
x=（2-
）a，
∴sin15°=
=
=
．
（3）由”直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”可知，
点A，D，B，C1，C2都在以AB为直径的圆上，
则∠ADC2=∠ABC2=∠BAC1=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC1A=45°，
∴△ADF∽△C1AG．△ADC2∽△FDA．
令AD=BD=a，则AB=
a，
在Rt△ABC1中，AC1=ABcos30°=
a•
=
由△ADF∽△C1AG得相似比AD：C1A=2：
．
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=45°-30°=15°，∠DBC=∠CAB-∠DBA=60°-45°=15°，
由∠AED为三角形ABE的外角，
∴∠AED=∠CEB=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°，
由∠DEC为三角形ADE的外角，∠AEB为三角形AED的外角，
∠DEC=∠AEB=∠DAC+∠D=90°+15°=105°，
综上，∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；
（2）过E作EF⊥AB于F点，
令AD=BD=a，EF=x，
则AB=
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∴（
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解得：x=
(
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那么AE=2x=（
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DE=a-
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∴sin15°=
| DE |
| AE |
(2-
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(
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（3）由”直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”可知，
点A，D，B，C1，C2都在以AB为直径的圆上，
则∠ADC2=∠ABC2=∠BAC1=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC1A=45°，
∴△ADF∽△C1AG．△ADC2∽△FDA．
令AD=BD=a，则AB=
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在Rt△ABC1中，AC1=ABcos30°=
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由△ADF∽△C1AG得相似比AD：C1A=2：
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点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义．要求学生借助图形，利用数形结合的数学思想，构造直角三角形，灵活运用勾股定理及锐角三角函数定义来解决数学问题．
练习册系列答案
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