题目内容

（创新题）．我们使用的三角板中有30°，45°，60°和90°特殊角，我们规定：由一副三角板中的角加，减所得的角称之为”半特殊角”．如135°=90°+45°等．如图是由两块斜边等长的三角板拚凑而成的，
（1）写出图中所有的小于平角的”半特殊角”和它们的度数；
（2）利用图求sin15°的值；
（3）将图中含30°角的直角三角板沿AB翻折得△ABC₁，再作△ABC关于AB中点O的中心对称△ABC₂，连AC₂，BC₁，线段DC₂，DC₁分别交AB于F，G，画出图形，指出其中的两对相似三角形，并求出其中一对相似三角形的相似比．

解：（1）∵∠DAB=∠DBA=45°，∠CAB=30°，∠CAB=60°，∠D=∠C=90°，
∴∠DAC=∠DAB-∠CAB=45°-30°=15°，∠DBC=∠CAB-∠DBA=60°-45°=15°，
由∠AED为三角形ABE的外角，
∴∠AED=∠CEB=∠CAB+∠DBA=30°+45°=75°，
由∠DEC为三角形ADE的外角，∠AEB为三角形AED的外角，
∠DEC=∠AEB=∠DAC+∠D=90°+15°=105°，
综上，∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；

（2）过E作EF⊥AB于F点，
令AD=BD=a，EF=x，
则AB= $\text{[math]}$ a，BF=EF=x，AF= $\text{[math]}$ x
∴（ $\text{[math]}$ +1）x= $\text{[math]}$ a，
解得：x= $\text{[math]}$ ，
那么AE=2x=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）a，
DE=a- $\text{[math]}$ x=（2- $\text{[math]}$ ）a，
∴sin15°= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

（3）由”直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”可知，
点A，D，B，C₁，C₂都在以AB为直径的圆上，
则∠ADC₂=∠ABC₂=∠BAC₁=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC₁A=45°，
∴△ADF∽△C₁AG．△ADC₂∽△FDA．
令AD=BD=a，则AB= $\text{[math]}$ a，
在Rt△ABC₁中，AC₁=ABcos30°= $\text{[math]}$ a• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由△ADF∽△C₁AG得相似比AD：C₁A=2： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意得到三角形ABD为等腰直角三角形，三角形ABC为含30°的直角三角形，根据题中的新定义，利用特殊角的加减即可得到∠DAC=∠DBC=15°，∠AED=∠BEC=75°，∠CED=∠AEB=105°；
（2）过E作EF于AB垂直，令AD=BD=a，设EF=x，在直角三角形ABD中，根据勾股定理表示出AB的长，判定出三角形BEF为等腰直角三角形，得到EF=BF=x，根据30度角的正切值，由EF=x，表示出AF的长，由AF+FB=AB列出等式，用含a的式子表示出x，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出AE=2x，表示出AE，用DB-BE表示出DE，在直角三角形ADE中，由正弦函数的定义：对边比斜边即DE比AE即可求出sin15°的值；
（3）根据题意画出图形，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到点A，D，B，C₁，C₂都在以AB为直径的圆上，根据同弧所对的圆周角都相等得到∠ADC₂=∠ABC₂=∠BAC₁=30°，∠DAB=∠DBA=∠CC₁A=45°，然后由两对对应角相等的两三角形相似，得到△ADF∽△C₁AG，△ADC₂∽△FDA，设AD=BD=a，利用勾股定理表示出AB，在Rt△ABC₁中，利用30度角的余弦函数定义表示出AC₁，用AD：AC₁即可求出△ADF与△C₁AG的相似比．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义．要求学生借助图形，利用数形结合的数学思想，构造直角三角形，灵活运用勾股定理及锐角三角函数定义来解决数学问题．