题目内容

精英家教网如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，AD=2BD，已知
BA
=
a
，
BC
=
b
．
（1）用向量
a
、
b
分别表示向量
BE
、
AE
；
（2）作出向量
DC
分别在
EC
、
BE
方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）．
分析：（1）由平行线分线段成比例的性质可知DE=
2
3
BC，则
DE
=
2
3
BC
=
2
3
b
，由于
BD
=
1
3
BA
=
1
3
a
，
AD
=
2
3
AB
=-
2
3
a
，根据向量加法的三角形法则即可求出向量
BE
、
AE
；
（2）作DF∥BE交AC于F，由平行线分线段成比例的性质可知向量
DC
分别在
EC
、
BE
方向上的分向量．
解答：解：（1）∵DE∥BC，AD=2BD，
∴
DE
BC
=
AD
AB
=
2
3
，
∴DE=
2
3
BC，（2分）
∵
DE
与
BC
方向相同，
∴
DE
=
2
3
BC
=
2
3
b
，（2分）
∵
BD
=
1
3
BA
=
1
3
a
，
∴
BE
=
BD
+
DE
=
1
3
a
+
2
3
b
．（2分）
∵
AD
=
2
3
AB
=-
2
3
a
，精英家教网
∴
AE
=
AD
+
DE
=-
2
3
a
+
2
3
b
．（2分）

（2）作出的图形中，
DC
在
EC
方向上的分向量，
FC
=
AB
+
BC
-
2
3
AE
=-
a
+
b
-
2
3
（-
2
3
a
+
2
3
b
）=-
5
9
a
+
5
9
b
，
BE
方向上的分向量
DF
=
2
3
BE
=
2
3
（
1
3
a
+
2
3
b
）=
2
9
a
+
4
9
b
．
点评：本题难度中等，考查了平行线分线段成比例的性质和向量加法的三角形法则及作图．
练习册系列答案
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20、如图，在△ABC中，∠BAC=45°，现将△ABC绕点A逆时针旋转30°至△ADE的位置，使AC⊥DE，则∠B=
75
度．
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（　　）
A、
1
2
B、（
2
2
）7
C、
1
4
D、
1
8
2、如图，在△ABC中，DE∥BC，那么图中与∠1相等的角是（　　）
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度．
14、如图，在△ABC中，AB=BC，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，若BC=10，AC=6cm，则△ACE的周长是
16
cm．

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