Question

已知方程组

y2=4x y=2x+m

有两组实数解

x=x1 y=y1

，

x=x2 y=y2

，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，设n=-

2

x1

-

2

x2

．
（1）求m的取值范围；
（2）用含m的代数式表示n；
（3）是否存在这样的m的值，使n的值为-2？如果存在，求出这样的m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）把②代入①消去y，得到关于x的一元二次方程，方程有两个实数解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，则△＞0，解不等式即可；
（2）根据（1）中的方程，由根与系数关系变形即可；
（3）将n-2代入（2）中的等式，求出符合题意的m的值即可．

解答：解：（1）把②代入①，得4x²+4（m-1）x+m²=0，
∵y²=4x≥0，
∴-（m-1）＞0，
解得m＜1，
∵方程有两个实数解，且x₁≠x₂，x₁x₂≠0，
∴△＞0，即（4m-4）²-16m²＞0，
解得m＜

1

2

且m≠0，
∴m的取值范围是m＜

1

2

且m≠0；

（2）由4x²+4（m-1）x+m²=0，
得x₁+x₂=1-m，x₁x₂=

m2

4

，
∴n=-

2

x1

-

2

x2

=-2（x₁+x₂）÷（x₁x₂）=

8m-8

m2

；

（3）m存在．
把n=-2代入n=

8m-8

m2

中，得-2=

8m-8

m2

；
整理，得m²+4m-4=0，解得m=-2±2

2

，
而m＜

1

2

且m≠0，
∴m=-2-2

2

．

点评：本题考查了二元二次方程组的解法．关键是消去一个未知数，转化为一元二次方程，熟练运用一元二次方程的判别式，根与系数关系，解一元二次方程的知识解题．