题目内容

如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为______时，四边形PQAC是平行四边形（利用备用图画图，直接写出结果，不写求解过程）；
（3）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．

解：（1）依题意，设抛物线的解析式：y=a（x+1）（x-3），代入C（0，3），得：
3=a（0+1）（0-3），解得：a=-1
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．抛物线顶点D的坐标为（1，4）．

（2）已知PQ∥AC，若四边形PMAC是平行四边形，必有CP∥AQ，即CP∥x轴；（如右图）
∴点C、P关于抛物线的对称轴对称；
已知C（0，3），抛物线对称轴x=1，则P（2，3）．

（3）设直线BD的解析式为y=kx+b，
由B（3，0），D（1，4）得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ；
∴直线BD的解析式为y=-2x+6．
∵点P在直线PD上，∴设P（p，-2p+6）．
则OA=1，OC=3，OM=p，PM=-2p+6．
∴S_{四边形PMAC}=S_△OAC+S_梯形OMPC= $\text{[math]}$ •1•3+ $\text{[math]}$ •（3-2p+6）•p=-p²+ $\text{[math]}$ p+ $\text{[math]}$ =-（p- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ．
∵1＜ $\text{[math]}$ ＜3，∴当p= $\text{[math]}$ 时，四边形PMAC的面积取得最大值为 $\text{[math]}$ ，此时点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知抛物线与x轴的两个交点，可将二次函数的解析式设为交点式，再代入C点的坐标即可，进而能得出顶点D的坐标．
（2）已知PQ∥AC，若四边形PQAC是平行四边形，那么CP必与AQ平行，即CP与x轴平行，因此点C、P关于抛物线对称轴对称，则P点坐标可得．
（3）四边形PMAC是个不规则的图形，可以将它的面积分成两部分：梯形PMOC、△AOC，首先利用待定系数法求出直线BD的解析式，然后设出点P的坐标，进而能用未知数表达出PM、OC、OM的长，再根据上面得出的图形间的面积和差关系求出关于四边形PMAC的面积与点P横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可得出四边形PMAC的最大面积以及对应的P点的坐标．
点评：此题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定和性质以及图形面积的求法，解题时要注重数形结合，难度适中．