Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是AD的中点，AD=4，BC=6，点P是BC边上的动点（不与点B重合），PE与BD相交于点O，设PB的长为x．
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE．
（2）当x=______时，四边形ABPE是平行四边形；当x=______时，四边形ABPE是直角梯形；
（3）当P在BC上运动的过程中，四边形ABPE会不会是等腰梯形？试说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠PBO=∠EDO．
∵∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；

（2）∵E是AD的中点，AD=4，
∴AE=DE=2．
∵AE∥BP，
∴当BP=AE，即x=2时，四边形ABPE是平行四边形．如图1；
如图2．
连接BE、CE．
∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠A=∠D．
在△ABE与△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE=CE，
∴当BP=CP=BC=3时，EP⊥BC，
又∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四边形ABPE是直角梯形．
∴当x=3时，四边形ABPE是直角梯形．
故答案为2，3；

（3）当PB=4时，四边形ABPE是等腰梯形．理由如下：
∵AD∥BC即DE∥PC，
∴当PC=DE=2，即PB=BC-PC=4时，四边形PCDE是平行四边形，
∴PE=CD，
又∵AB=CD，
∴PE=AB．
∵AE∥PB且AE≠PB，
∴四边形ABPE是等腰梯形．
分析：（1）△BOP和△DOE中，已知的条件有：对顶角∠BOP=∠DOE；根据AD∥BC，可得出内错角∠PBO=∠EDO，由此可判定两个三角形相似；
（2）由于AE∥BP，所以当BP=AE=2时，四边形ABPE是平行四边形；由于AE∥BP，所以当P为BC的中点，即BP=3时，可证EP⊥BC，四边形ABPE是直角梯形；
（3）由于AE∥BP，梯形ABCD是等腰梯形，所以当PB=4，PC=ED=2时，四边形CDEP是平行四边形，此时四边形ABPE是等腰梯形．
点评：本题考查了等腰梯形的判定与性质，平行四边形、直角梯形的判定，相似三角形的判定与性质，难度中等．