Question

如图，在⊙O中，C为

AB

的中点，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接DB并延长DB交⊙O于E，连AE．
（1）求证：AE是⊙O的直径；  
（2）求证：AE=DE．

Answer 1

分析：（1）首先连接CB，AB，CE，由点C为劣弧AB上的中点，可得出CB=CA，再根据CD=CA，得△ABD为直角三角形，可得出∠ABE为直角，根据90度的圆周角所对的弦为直径，从而证出AE是⊙O的直径；
（2）由AE是⊙O的直径，可得EC⊥AD，又由AC=CD，即可证得AE=DE．

解答：证明：（1）连接CB，AB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB=CA，
又∵CD=CA，
∴AC=CD=BC，
∴∠ABC=∠BAC，∠DBC=∠D，
∴∠ABD=90°，
∴∠ABE=90°，
∴AE是⊙O的直径；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACE=90°，
即EC⊥AD，
∵AC=CD，
∴AE=DE．

点评：此题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质以及弧与弦的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．