Question

（2011•葫芦岛）两个全等的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的

1

3

，则图（2）中平移距离A′A=

3

．

Answer 1

分析：由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图（2）除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图（2）总面积的

1

3

，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长．

解答：解：∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等，
∴AD=A′D′=4，BC=B′C′=8，
设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，
∴AD′=A′D′-A′A=4-x，BC′=B′C′-B′B=8-x，
由平移的性质可知：S_{四边形A′ABB′}=S_{四边形D′DCC′}，
又∵S阴影= 

1

3

S四边形A′B′CD，
∴S阴影=

1

2

S四边形A′B′C′D′，
∴

1

2

h（AD′+BC′）=

1

2

×

1

2

h（A′D′+B′C′），
即

1

2

h（4-x+8-x）=

1

4

h（4+8），
化简得：6-x=3，
解得：x=3，
∴A′A=3．
故答案为：3

点评：此题考查了平移的性质，以及梯形的面积公式，平移的性质有：对应点的连线平行（或重合）且相等，对应线段平行（或重合）且相等．其中根据平移的性质及题意得出S阴影=

1

2

S四边形A′B′C′D′是解本题的关键．