Question

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，D是AB上一点，以BD为圆心的⊙O切AC于点E，交BC于点F，OG⊥BC于G点．
（1）求证：CE=OG；
（2）若BC=3cm，sinB=，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接OE，由⊙O切AC于点E，OG⊥BC，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，易证得四边形OGCE是矩形，则可证得CE=OG；
（2）由BC=3cm，sinB=，可求得AB的长，易证得△AEO∽△ACB，然后根据相似三角形的对应边成比例，可求得OB的长，继而求得AD的长．
解答：（1）证明：连接OE，
∵⊙O切AC于点E，
∴OE⊥AC，
即∠OEC=90°，
∵OG⊥BC，
∴∠CGO=90°，
∵Rt△ABC中，∠C=Rt∠，
∴四边形OGCE是矩形，
∴CE=OG；

（2）解：在Rt△ABC中，sinB=，
∴cosB==，
∵BC=3cm，
∴AB=BC÷cosB=5（cm），
∵∠A=∠A，∠AEO=∠ACB=90°，
∴△AEO∽△ACB，
∴，
即，
解得：OB=，
∴DB=20B=，
∴AD=AB-DB=5-=．
点评：此题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．