Question

试证：每个大于6的自然数n，都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和．

Answer 1

分析：写出n＞6时的自然数，得到必有一个数A与n互质，然后分三种情况讨论：（1）当n为奇数时；（2）当n为偶数，但不是4的倍数时；（3）当n为偶数，且又是4的倍数时．

解答：证明：直观上可以这样看，当n＞6时，在2，3，…，n-2中，必有一个数A与n互质（2≤A≤n-2），
记B=n-A≥2，有n=A+B，
此时，A与B必互质，否则A与B有公约数d＞1，则d也是n的约数，从而A与n有大于1的公约数，与A、n互质矛盾．
（1）当n为奇数时，
n=2+（n-2），或n=

n-1

2

+

n+1

2

（2）当n为偶数，但不是4的倍数时，n=

n-4

2

+

n+4

2

，
由n＞6知

n-4

2

＞1，且

n+4

2

、

n-4

2

均为奇数，
（

n-4

2

，

n+4

2

）=（

n-4

2

，4）=1．
（3）当n为偶数，且又是4的倍数时，有n=

n-2

2

+

n+2

2

，
由n＞6知

n-2

2

＞1，且

n-2

2

、

n+2

2

均为奇数，
（

n-2

2

，

n+2

2

）=（

n-2

2

，2）=1．

点评：此题考查了自然数中互质的数的判定，分类讨论在解题中起着至关重要的作用，不可轻视．