Question

【题目】⊙O为△ABC的外接圆，过圆外一点P作⊙O的切线PA，且PA∥BC．

（1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形：

（2）如图2，在AB边上取一点E，AC边上取一点F，直线EF交PA于点M，交BC的延长线于点N，若ME=FN，求证：AE=CF；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE、OF，∠EOF=120°，，EF=，求⊙O的半径长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）⊙O的半径为4．

【解析】

试题分析：（1）如图1中，易证明AB=AC，只要证明AD垂直平分BC即可．

（2）如图2中，过点F作FK∥AB交BC于点K，只要证明△AME≌△KNF，△FKC是等腰三角形即可．

（3）如图3中，过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K，过点E作EQ⊥FH于点Q，连接OA、OC，则四边形GEQH是矩形，首先证明△ABC是等边三角形，设AG=a，AH=b，求出相应的线段，在RT△EFQ中，根据tan∠FMH=tan∠FEQ===，求出a、b的关系，再利用勾股定理求出a、b，最后根据AE+AF=2AD，求出AD，在RT△AOD中即可解决OA．

（1）证明：如图1中，连接AO并延长交BC于点D，

∵PA切⊙O于点A，

∴PA⊥OA，即∠PAD=90°．

∵PA∥BC，

∴∠PAD=∠ADC=90°，

∴OD⊥BC，

∴根据垂径定理可得BD=CD，

∴AD垂直平分BD，

∴AB=AC，即△ABC为等腰三角形；

（2）如图2中，过点F作FK∥AB交BC于点K，

∵PA∥BC，FK∥AB，

∴∠AME=∠N，∠MAB=∠B．

∵∠B=∠FKC，

∴∠MAB=∠FKC．

在△AME和△KNF中，

，

∴△AME≌△KNF，

∴AE=FK，

∵FK∥AB，

∴∠B=∠FKC．

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠FKC=∠ACB，

∴FK=CF．

∵AE=FK，

∴AE=FC．

（3）如图3中，过点E作EG⊥AM于G，过点F作FH⊥AM交MA的延长线于点H，作OD⊥AB于D，OK⊥AC于K．

过点E作EQ⊥FH于点Q，连接OA、OC，则四边形GEQH是矩形，

由（1）知AB=AC，OA⊥BC，

∴∠OAB=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠OAB，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF，

∴∠AOE=∠COF，

∴∠AOC=∠EOF=120°，

∴∠B=∠AOC=60°，∠OCA=∠OAC=30°．

∵AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°．

∵PA∥BC，

∴∠MAE=∠B=60°．

∵EG⊥AM，∠MAE=60°，

∴∠AEG=30°，

同理∠AFH=30°，

设AG=a，AH=b，

∴EG=a，FH=b，AF=2AH=2b，

∵AB=AC，AE=CF，

∴BE=AF=2AM，

∴AM=AH=b，tan∠FMH=tan∠FEQ==，

在RT△EFQ中，

∵EQ=GH=a+b，QF=FH﹣HQ=FH﹣EG=（b﹣a），

∴=，

∴=，

∴b=3a，

∴（a+3a）2+[（3a﹣a）]2=（2），

∴a=，

∴AE=2，AF=3，

在△AOD和△AOK中，

△AOD≌△AOK，

∴OD=OK，AD=AK，

在RT△ODE和RT△OKF，

，

∴RT△EOD≌RT△FOK，

∴DE=FK，

∴AE+AF=AD﹣DE+AK+KF=2AD=4，

∴AD=2，

在RT△AOD中，∵AD=2，∠OAD=30°，

∴OD=2，AO=4，

∴⊙O的半径为4．