Question

【题目】如图a，AB为⊙O直径，AC为⊙O的为弦，PA为⊙O的切线，∠APC=2∠1.

（1）求证：PC是⊙O的切线.

（2）当∠1=30°，AB=4时，其他条件不变，求图b中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4－π

【解析】

（1）连接OC，首先证明∠APC+∠AOC=180°，由PA是圆的切线可得∠OAP=90°，根据四边形内角和可得∠OCP=90°，从而得证；

（2）

（1）证明：连结OC.

在圆O中，OA=OC，

∴∠BOC=2∠1=∠APC

∠BOC+∠AOC=180°

∴∠APC+∠AOC=180°

∵PA为⊙O的切线，

∴∠OAP=90°

又四边形内角和为360°，

∴∠OCP=90°，OC为⊙O的半径

∴PC为⊙O的切线.

（2）∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的切线.

∴PA=PC

∵∠1=30°,∠APC=2∠1

∴∠APC=60°，∠AOC=120°，

∴△APC为等边三角形.

连结OP，OC，则∠APO=∠CPO=30°

∵AB=4

∴OC=OA=2，

在Rt△POA中，PO=4，PA=2，

∴S四边形AOCP=2××2×2=4，

S扇形AOC=×π×4=π

S阴影部分的面积=4－π.