Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）请说明：DE=DF；
（2）请说明：BE²+CF²=EF²；
（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积（直接写结果）．

Answer 1

（1）证明：连接AD，
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C=∠B=45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中
，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF．

（2）证明：∵△BDE≌△ADF，
∴BE=AF，
∵∠EDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△ADE和△CDF中
，
∴△ADE≌△CDF，
∴CF=AE，
∴EF²=AE²+AF²=BE²+CF²，
即BE²+CF²=EF²．

（3）解：EF²=BE²+CF²=100，
∴EF=10，
根据勾股定理DE=DF=5，
△DEF的面积是DE×DF=×5×5=25．
答：△DEF的面积是25．
分析：（1）连接AD，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根据ASA证△BDE≌△ADF即可；
（2）根据AAS证△ADE≌△CDF，推出AE=CF，根据勾股定理求出即可；
（3）求出EF长，根据勾股定理求出DE和DF，根据三角形的面积公式求出即可．
点评：本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的应用，关键是①小题构造三角形ADF，证△BDE和△ADF全等，②小题求出CF=AE，目比较典型，但有点难度．