Question

已知关于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△=[-（4m+1）]²-4（3m²+m）=4（m+）²，
∵（m+）²是非负数，
∴4（m+）²≥0，即△≥0．
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；

（2）解：解关于x的一元二次方程x²-（4m+1）x+3m²+m=0得到，x=，
∴x₁=，x₂=m．
则由题意，得或，
解得，＜m＜7．
即m的取值范围是＜m＜7．
分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明：
（2）先求出原方程的两个实数根，根据两个实数根一个大于2，另一个小于7，列出不等式组，求出m的取值范围．
点评：本题考查一元二次方程根的判别式，当△≥0时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式组．