Question

【题目】如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．

（1）判断四边形ACC'A'的形状，并说明理由；

（2）在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC=，求CB'的长．

Answer 1

【答案】（1）四边形ACC'A'是菱形；（2）16．

【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的判定定理（有一组对边平行且相等的四边形是平四边形）推知四边形ACC'A'是平行四边形．又对角线平分对角的平行四边形是菱形推知四边形ACC'A'是菱形．

（2）通过解直角△ABC得到AC、BC的长度，由（1）中菱形ACC'A'的性质推知AC=AA′，由平移的性质得到四边形ABB′A′是平行四边形，则AA′=BB′，所以CB′=BB′﹣BC．

试题解析：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：

由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC=A′C′，则四边形ACC'A'是平行四边形，∴∠ACC′=∠AA′C′，又∵CD平分∠ACB的外角，即CD平分∠ACC′，∴CD也平分∠AA′C′，∴四边形ACC'A'是菱形．

（2）∵在△ABC中，∠B=90°，A B=24，cos∠BAC=，

∴cos∠BAC==，即=，∴AC=26，

∴由勾股定理知：BC= = =10，

又由（1）知，四边形ACC'A'是菱形，∴AC=AA′=26，

由平移的性质得到：AB∥A′B′，AB=A′B′，则四边形ABB′A′是平行四边形，

∴AA′=BB′=26，∴CB′=BB′﹣BC=16．