题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 交x轴、y轴于点A、B，⊙P的圆心从原点出发以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，移动时间为t（s），半径为 $数学公式$ ，则t=________s时⊙P与直线AB相切．

$\text{[math]}$ 或24
分析：由直线y= $\text{[math]}$ x-3交x轴、y轴于点A、B，可求得A与B的坐标，继而求得∠OAB的正弦值，设⊙P与直线AB相切于点C，连接PC，可得PC⊥AB，然后分别求得⊙P与直线两次相切时AP的值，继而可得方程，解方程即可求得答案．
解答：

解：∵直线y= $\text{[math]}$ x-3交x轴、y轴于点A、B，
∴A（4，0），B（0，-3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB= $\text{[math]}$ =5，
∴sin∠OAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设⊙P与直线AB相切于点C，连接PC，
∴PC⊥AB，
∴∠ACP=90°，
如图1，在Rt△APC中，AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t，
∴OA=OP+AP=t+ $\text{[math]}$ t=4，
解得：t= $\text{[math]}$ ；
如图2，∵∠PAC=∠OAB，
∴在Rt△APC中，AP= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t，
∴OA=OP-AP=t- $\text{[math]}$ t=4，
解得：t=24；
∴当t= $\text{[math]}$ 或24s时⊙P与直线AB相切．
故答案为： $\text{[math]}$ 或24．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了一次函数的性质、切线的性质以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．