Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB边上任意一点，∠ECF＝45°，CF交AD于点F，将△CBE绕点C顺时针旋转到△CDP，点P恰好在AD的延长线上．

(1)求证：EF＝PF；

(2)直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切吗？为什么？

Answer 1

证明：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°

依题意△CDP是△CBE绕点C旋转90°得到，

∴∠ECP=90°    CE=CP      

∵∠ECF=45°，

∴∠FCP=∠ECP－∠ECF=90°－45°=45°

∴∠ECF=∠FCPCF=CF，

∴△ECF≌△PCF。∴EF=PF。          

(2) 相切.                       

理由：过点C作CQ⊥EF于点Q。

由（1）得，△ECF≌△PCF，∴∠EFC=∠PFC  

又CQ⊥EF，CD⊥FP，∴CQ=CD

∴直线EF与以C为圆心，CD为半径的圆相切。