题目内容
【题目】综合与探究
如图，抛物线
，与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作
轴于点E，交直线BC于点F，当
时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A(－2，0)，B(4，0)，C(0，－2)；（2）
；（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．
【解析】
（1）分别把y=0，x=0代入函数解析式，解方程即可求解；
（2）求出直线BC解析式，设点D的坐标为
，则点F的坐标为
，点E的坐标为(m，0)．根据
求出D、E、F坐标，根据
即可求解；
（3）设点N的坐标为(1，n)，分NB为对角线、ND为对角线、BD为对角线三类讨论，结合平行四边形性质即可求出点M坐标．
（1）由
，得
．
解方程，得
，
．
∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)．
由
，得
，∴点C的坐标为(0，－2)
（2）设直线BC的函数表达式为
，经过点B(4，0)，C(0，-2)，∴
解得
，∴直线BC的函数表达式为
．
设点D的坐标为，则点F的坐标为，点E的坐标为(m，0)．
∵点D在第一象限，∴
．
又∵，∴
．
解得
，
(舍去)，∴点E的坐标为(5，0)，点D的坐标为
，点F的坐标为
，∴
．
（3）设点N的坐标为(1，n)，
①当NB为对角线时，如答图1所示，点M的坐标为
．
代入
，得
，解得
．
此时点M的坐标为(0，－2)；
②当ND为对角线时，如答图2所示，点M的坐标为
，
代入，得
．
解得
．
此时点M的坐标为(2，－2)；
③当BD为对角线时，如答图3所示，点M的坐标为
，
代入，得
．
解得
．
此时点M的坐标为(8，10)．
综上所述：存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为(0，－2)或(2，－2)或(8，10)．
