题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为等边三角形，点A的坐标是（ $数学公式$ ，0），点B在第一象限，AC是∠OAB的平分线，并且与y轴交于点E，点M为直线AC上一个动点，把△AOM绕点A顺时针旋转，使边AO与边AB重合，得到△ABD．
（1）求直线OB的解析式；
（2）当点M与点E重合时，求此时点D的坐标；
（3）设点M的纵坐标为m，求△OMD的面积S关于m的函数解析式．

解：（1）点A的坐标是（4 $\text{[math]}$ ，0），
4 $\text{[math]}$ ÷2=2 $\text{[math]}$ ，4 $\text{[math]}$ sin60°=6，
∴点B的坐标是B（2 $\text{[math]}$ ，6），
设直线OB的解析式是y=kx，
则2 $\text{[math]}$ k=6，
解得k= $\text{[math]}$ ，
∴直线OB的解析式是y= $\text{[math]}$ x；

（2）如图1，由题意DA⊥x轴，∠EAO=∠BAD=30°．
∴点D的横坐标为 $\text{[math]}$ ； …
此时DA=AE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =8，
∴点D的坐标是（ $\text{[math]}$ ，8）．…

（3）过M作MN⊥x轴，则MN=|m|，∠MAN=30°，
当m＞4时，AN=MNcot30°= $\text{[math]}$ m，DA=AM=m÷sin30°=2m，
①如图2，S=S_梯形ADMN-S_△OMN-S_△AOD，
= $\text{[math]}$ （m+2m）• $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ m-4 $\text{[math]}$ ）•m- $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×2m，
= $\text{[math]}$ m²-2 $\text{[math]}$ m；…
②如图3，当2＜m≤4时，S=S_梯形ADMN+S_△OMN-S_△AOD，
= $\text{[math]}$ （m+2m）• $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ （4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m）•m- $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×2m，
= $\text{[math]}$ m²-2 $\text{[math]}$ m； …
③如图4，当0≤m≤2时，S=S_△AOD-S_△OMN-S_梯形ADMN，
= $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×2m- $\text{[math]}$ （4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m）•m- $\text{[math]}$ （m+2m）• $\text{[math]}$ m，
=- $\text{[math]}$ m²+2 $\text{[math]}$ m； …
④如图5，当m＜0时，S=S_梯形ADMN+S_△AOD-S_△OMN，
= $\text{[math]}$ （m+2m）• $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ×2m- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ m+4 $\text{[math]}$ ）•m，
= $\text{[math]}$ m²+2 $\text{[math]}$ m； …
∴S= $\text{[math]}$ ．
（四种情况讨论正确一种给1分）
分析：（1）根据点A的坐标及△AOB为等边三角形求出点B的坐标，然后利用待定系数法求直线OB的解析式；
（2）过点D作DA⊥x轴，则点D的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标等于AE的长度，在Rt△AOE中，∠OAE=30°，利用30°角的余弦即可求解；
（3）根据点A的坐标求出等边三角形的高是4，过点M作MN垂直x轴于点N，然后分①m＞4时，②2＜m＜4时，③0＜x＜2时，④m＜0时点M的不同位置，根据△OMD的面积S，梯形ADMN的面积，△MNO的面积，△AOD的面积之间的关系列式分别求解．
点评：本题是对一次函数的综合考查，包括待定系数法求函数解析式，等边三角形的每一个角都是60°，三边都相等，旋转变换的性质，（3）中要注意分情况讨论，比较麻烦，计算时一定要细心．