题目内容
如图，已知A（0，1）、D（4，3），P是以AD为对角线的矩形ABDC内部（不在各边上）的一个动点，点C在y轴上，抛物线y=ax2+bx+1以P为顶点．（1）能否判断抛物线y=ax2+bx+1的开口方向？请说明理由．
（2）设抛物线y=ax2+bx+1与x轴有交点F、E（F在E的左侧），△EAO与△FAO的面积之差为3，且这条抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
，这时能确定a、b的值吗？若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．（本题的图形仅供分析参考用）
【答案】分析：（1）由y=ax2+bx+1可知抛物线过点（0，1），即A点，而顶点P在正方形内部，可判断抛物线开口向下；
（2）已知OA=1，设F（x1，0）、E（x2，0），利用△EAO与△FAO的面积之差为3，可求x1+x2=6的值，再利用两根关系求a、b的一个关系式，求直线AD的解析式，根据D点横坐标为
，求D点纵坐标，代入抛物线解析式，得到a、b的另外一个关系式，解方程组求a、b的值．
解答：解：（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax2+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax2+bx+1的开口向下．
（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x1，0）、E（x2，0），
则x1＜0，x2＞0
S△AEO=
OE•OA=
x2；
S△AFO=
OF•OA=
x1
∵S△AEO-S△AFO=3
∴
x2-（
x1）=3，即x1+x2=6
∵x1+x2=
+
=
∴
=6，即b=-6a①
另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得
，解得
，∴
由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
，所以纵坐标=
把点（
，
）的坐标代入y=ax2+bx+1，
整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得
，
．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的顶点不是最高点，就是最低点，判断开口方向，根据面积关系，及抛物线所经过的点，列方程组求a、b的值．
（2）已知OA=1，设F（x1，0）、E（x2，0），利用△EAO与△FAO的面积之差为3，可求x1+x2=6的值，再利用两根关系求a、b的一个关系式，求直线AD的解析式，根据D点横坐标为
，求D点纵坐标，代入抛物线解析式，得到a、b的另外一个关系式，解方程组求a、b的值．解答：解：（1）能判断抛物线开口向下．
∵y=ax2+bx+1经过点A（0，1），
∴点P的位置高于点A，说明点P不是抛物线的最低点，
∴点P是抛物线的最高点．
∴抛物线y=ax2+bx+1的开口向下．
（2）如图，设抛物线与x轴的交点坐标为F（x1，0）、E（x2，0），则x1＜0，x2＞0
S△AEO=
OE•OA=x2；S△AFO=
OF•OA=x1∵S△AEO-S△AFO=3
∴
x2-（x1）=3，即x1+x2=6∵x1+x2=
+=∴
=6，即b=-6a①另一方面，设直线AD的解析式为y=kx+m，
并把点A（0，1）、D（4，3）的坐标代入解析式得
，解得，∴由于抛物线与线段AD有一个交点的横坐标为
，所以纵坐标=把点（
，）的坐标代入y=ax2+bx+1，整理得49a+14b=7②
解由①②组成的方程组得
，．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的顶点不是最高点，就是最低点，判断开口方向，根据面积关系，及抛物线所经过的点，列方程组求a、b的值．
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