Question

4．已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，-4），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N（0，-3）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作⊙M，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）请求出抛物线与（2）中⊙M的所有交点坐标．

Answer 1

分析 （1）可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将N点坐标代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）根据两对相似三角形：△AQF、△ABE和△BGQ、△BDA得出的对应成比例线段，即可求出所求的代数式是否为定值；
（3）过点D作DN⊥AB，垂足为N，令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，可知点A（-1，0）、点B（3，0），设点D的坐标为（m，m²-2m-3），然后证明△ADN∽△DBN，利用相似三角形的性质可知$\frac{AN}{DN}=\frac{DN}{BN}$，即：$\frac{m+1}{-{（m}^{2}-2m-3）}=\frac{-（{m}^{2}-2m-3）}{3-m}$，从而可解得m的值，从而可求得点D的坐标为（1-$\sqrt{3}$，-1），点D′的坐标为（1+$\sqrt{3}$，-1）．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-1）²-4，
将N（0，-3）代入解析式得：-3=a（0-1）²-4，
∴a=1，
∵抛物线的解析式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；
（2）是定值：$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$=1，
理由：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵QF⊥AE，
∴QF∥BE，
∴△AQF∽△ABE，
∴$\frac{QF}{BE}$=$\frac{AQ}{AB}$，
同理：$\frac{QG}{AD}$=$\frac{QB}{AB}$，
∴$\frac{QF}{BE}+\frac{QG}{AD}$=$\frac{AQ}{AB}+\frac{QB}{AB}$=$\frac{AQ+QB}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1；
（3）如图所示，过点D作DN⊥AB，垂足为N．

令y=0得：x²-2x-3=0，解得：x₁=3，x₂=-1，
∴点A的坐标为（-1，0）、点B的坐标为（3，0）．
设点D的坐标为（m，m²-2m-3），
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠ADN+∠NDB=90°．
∵∠NDB+∠DBN=90°，
∴∠ADN=∠DBN．
又∵∠AND=∠BND=90°，
∴△ADN∽△DBN．
∴$\frac{AN}{DN}=\frac{DN}{BN}$，即：$\frac{m+1}{-{（m}^{2}-2m-3）}=\frac{-（{m}^{2}-2m-3）}{3-m}$
解得：m₁=-1（舍去），m₂=3（舍去），${m}_{3}=1-\sqrt{3}$，${m}_{4}=1+\sqrt{3}$．
当m=1-$\sqrt{3}$时，m²-2m-3=$（1-\sqrt{3}）^{2}-2（1-\sqrt{3}）-3$=1，
当m=1+$\sqrt{3}$时，m²-2m-3=$（1+\sqrt{3}）^{2}-2（1+\sqrt{3}）-3$=1．
∴点D的坐标为（1-$\sqrt{3}$，-1），点D′的坐标为（1+$\sqrt{3}$，-1）．
综上所述，抛物线与圆的交点坐标分别为A（-1，0）、B（3，0）、D（1-$\sqrt{3}$，-1）、D′（1+$\sqrt{3}$，-1）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质、圆的性质和二次函数的性质和因式分解法-解方程．设设点D的坐标为（m，m²-2m-3），然后证得△ADN∽△DBN，利用相似三角形的性质得到关于m的方程，然后解得m的值是解题的关键．