题目内容

在平面直角坐标系中有一点A（ $数学公式$ ），过A点作x轴的平行线l，在l上有一不与A点重合的点B，连接OA，OB．将OA绕O点顺时针方向旋转α°到OA₁，OB绕O点逆时针方向旋转α°到OB₁．
（1）当B点在A点右侧时，如图（1）．如果∠AOB=20°，∠A₁OB=110°，α=______．这时直线AB₁与直线A₁B有何特殊的位置关系证明你的结论．
（2）如果B点的横坐标为t，△OAB的面积为S，直接写出S关于t的函数关式，并指出t的取值范围．
（3）当α=60时，直线B₁A交y轴于D，求以D为顶点且经过A点的抛物线的解析式．

解：（1）90．垂直，理由：
设AB₁与OB交于C．
在△A₁OB和△AOB₁中， $\text{[math]}$
∴△A₁OB≌△AOB₁
∴∠A₁BO=∠AB₁O．又∠AB₁O+∠OCB₁=90°，∠OCB₁=∠ACB
∴∠ACB+∠A₁BO=90°
∴B₁A⊥A₁B．

（2）当t＞ $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）
当t＜ $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ （t- $\text{[math]}$ ）
（或x≠ $\text{[math]}$ 时）S= $\text{[math]}$ |t- $\text{[math]}$ |．

（3）当B在A点右侧时．如图（2）（画图）
∵A（ $\text{[math]}$ ），若l与y轴交于M．则OM= $\text{[math]}$ ，MA= $\text{[math]}$ ，
∴∠AOM=30°α=60时，A₁点在l上．
∴△OA₁A是等边三角形．
∴∠AA₁O=60度．
与（1）同理得△A₁OB≌△AOB₁．
∴∠OAB₁=∠OA₁B=60°
∴B₁A∥OA₁
∴D（O，- $\text{[math]}$ ）．
当B在A点左侧时，同理可得B₁A∥OA₁，D（O，- $\text{[math]}$ ）．（可以证左侧，同理得右侧）
因此，所求解析式为y=2 $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）易知∠α=90°；
直线AB₁与直线A₁B可通过证△A₁OB和AOB₁全等得出∠AB₁O=∠A₁BO，因此两角加上一个相等的对顶角后也应该相等，由于∠_B1OB=α=90°，因此A₁B⊥AB₁．
（2）已知了A的坐标和B的横坐标即可得出AB的长和AB边上的高，根据三角形的面积计算公式即可得出S，t的函数关系式．（要注意的本题中，要保证线段的长均为正数）
（3）本题要分两种情况进行求解，以B在A点右侧为例进行说明．
设直线l与y轴的交点为M，根据A的坐标不难得出∠AOM=30°，∠OAM=60°，因此当α=60°时，A₁恰好在直线l上，且A₁，A关于y轴对称，由此可得出A₁的坐标．求抛物线的解析式关键还需知道D点的坐标，根据（1）的全等三角形可得出∠OAB₁=∠OA₁B=60°，因此∠AOD=∠ADO=30°，D，O关于直线l对称由此可得出D点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
点评：本题考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的应用等知识点．