Question

20．如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EM⊥CD，垂足分别是F，M．
（1）求证：AE=FM．
（2）若tan∠DAE=$\frac{1}{3}$，MF=2$\sqrt{10}$，求正方形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意我们不难得出四边形MEFC是个矩形，因此它的对角线相等．如果连接EC，那么EC=FM，要证明AE=FM，只要证明EC=AE即可．证明AE=EC就要通过全等三角形来实现．三角形ABE和BEC中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一组公共边BE，因此构成了全等三角形判定中的SAS，因此两三角形全等，得AE=EC，即AE=MF．
（2）根据全等三角形的性质得出∠DAE=∠DCE再解答即可．

解答 （1）证明：连接EC．

∵四边形ABCD是正方形，EF⊥BC，EM⊥CD，
∴∠MCF=∠CFE=∠CME=90°，
∴四边形EFCM为矩形．
∴FM=CE．
又BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BE}\\{∠ABE=∠CBE}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=FM；
（2）由（1）得∠DAE=∠DCE，
∵$tan∠DAE=\frac{1}{3}，MF=2\sqrt{10}$
设EM=k，MC=3k，
∴${k^2}+{（3k）^2}={（2\sqrt{10}）^2}∴k=2$，
∴EM=2，MC=6．
可得DM=EM=2．
∴DC=8，
∴S_正方形=64．

点评 本题考查了全等三角形的判定，正方形和矩形的性质等知识点，通过构建全等三角形来证明简单的线段相等是解此类题的常用方法．