Question

①如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为

4

2

．
②如图2，在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD，AC=6cm，则等腰梯形ABCD的面积为

18

cm²．
③如图3，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD于点O，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于

10

．

Answer 1

分析：①求出∠DAB=∠CBA，证△DAB≌△CBA，推出∠DBA=∠CAB=45°，求出OA、OB的值，同理求出OC的值即可；
②证△DAB≌△CBA，求出AC=BD，根据三角形面积公式求出即可；
③过D作DM∥AC交BC的延长线于M，得出平行四边形AEFD和平行四边形ACMD，求出AD=CM=4，求出DF，即可求出AE．

解答：①解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△DAB和△CBA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴∠DBA=∠CAB，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴OA=OB，
同理OD=OC，
设OA=OB=a，在△AOB中，AB=5，由勾股定理得：a²+a²=5²，
a=

5 2

2

，
OA=OB=

5 2

2

，
同理OC=OD=

3 2

2

，
∴AC=OA+OC=

3 2

2

+

5 2

2

=4

2

，
故答案为：4

2

．

②解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
在△DAB和△CBA中，
∵

AD=BC ∠DAB=∠CBA AB=AB

，
∴△DAB≌△CBA（SAS），
∴AC=BD=6cm，
∴梯形ABCD的面积是S_△ABD+S_△CBD
=

1

2

×BD×OA+

1

2

×BD×OC
=

1

2

×BD×（OA+OC）
=

1

2

×BD×AC
=18（cm²），
故答案为：18．

③解：过D作DM∥AC交BC的延长线于M，
∵AD∥BC，DM∥AC，
∴四边形ACMD是平行四边形，
∴AD=CM=4，AC=DM，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AD=EF=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ABC和△DCB中，
∵

AB=DC ∠ABC=∠DCB BC=BC

，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=BD，
∴BD=DM，
∵DM∥AC，AC⊥BD，
∴∠MDB=90°，
∵DF⊥BM，BD=DM，
∴BF=FM，
∴DF=

1

2

BM=

1

2

×（4+8）=6，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AF∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴AE=DF=6，
∴AE+EF=6+4=10，
故答案为：10．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理等知识点的综合运用，题目都比较好，综合性比较强．