Question

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=12cm，AD=15cm，动点Q由点B沿BC向点C移动，1秒钟后动点P由点A沿AD向点D移动
（1）若动点P的速度比动点Q的速度大1厘米/秒，且动点Q到达C时，动点P 恰好也到达D．试求动点P、Q的速度．
（2）若动点P的速度为5厘米/秒，动点Q的速度为3厘米/秒，在运动过程中（P与A、D不重合时），AQ与BP交于K，CP与DQ交于N
①当动点Q到达BC中点时，过K作KM∥AD交AB于M，求KM的长；（如图2）
②在这运动过程中，KN是否会与AD平行？若会，请求出此时为P点出发后几秒？若不会，请说明理由．（如图3）

Answer 1

分析：（1）首先设动点Q的速度为x厘米/秒，根据题意即可得方程：

12

x

=

15

x+1

+1，解此方程即可求得答案，注意分式方程需检验；
（2）①由动点Q到达BC中点，即可求得BQ与AP的值，又由MK∥AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MK的值；
②首先设点P点出发后t秒时，KN∥AD，然后根据平行线分线段成比例定理与比例的性质，即可得方程

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’又由此方程无解，即可证得KN不会平行于AD．

解答：解：（1）设动点Q的速度为x厘米/秒，
根据题意得：

12

x

=

15

x+1

+1，
解得：x₁=2，x₂=-6（不合题意舍去）
经检验x=2是原方程根，
∴动点Q速度为2厘米/秒，动点P速度为3厘米/秒．

（2）①当BQ=

1

2

BC=6cm时，AP=5×（6÷3-1）=5cm，
由MK∥AD∥BC，
得

BK

KP

=

BQ

AP

=

6

5

，

MK

AP

=

BK

BP

=

6

11

，
∴MK=

30

11

cm；
②设点P点出发后t秒时，KN∥AD，
∴

QK

KA

=

BQ

AP

=

3(t+1)

5t

，

QN

ND

=

CQ

DP

=

12-3(t+1)

15-5t

，
若KN∥AD，则

3(t+1)

5t

=

12-3(t+1)

15-5t

’
解得：

t+1

t

=1此方程无解，
∴KN不会平行于AD．

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，分式方程的解法，以及比例的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意比例的性质与比例变形，注意数形结合思想的应用．