Question

16．如图，AB垂直平分CD，AB与CD相交于点O，CD=4cm，∠CAD=90°，∠CBD=60°，点P、Q、M、N分别沿图示方向在线段上运动，同时开始以1cm/s的速度运动．
（1）设出发时间为t（s）是否存在某一时刻，四边形PQMN为既为轴对称图形，又为中心对称图形？若存在，请证明时间；若不存在，请说明理由；
（2）点P、Q、M、N分别与点O连结，图中阴影部分图形称为蝶形，求蝶形面积S关于t的函数关系式（0＜t＜
（3）当t=2时，在AB上找一点G，使GQ+GM最小，画出图形并求此时OG的长．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得CO=DO，AC=AD，再由∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=4，AP=AQ=BM=BN=t，易判断△APG和△ACD为等腰直角三角形，△BMN和△BCD为等边三角形，所以AO=CO=DO=1，BO=2$\sqrt{3}$，CB=DB=4，PQ=$\sqrt{2}$t，MN=t，然后利用PQ∥MN，PM=QN得到四边形PQMN为矩形，当PQ=MN时，四边形PQMN为长方形，则$\sqrt{2}$t=t，解得t=0，于是得到不存在某一时刻，四边形PQMN为既为轴对称图形，又为中心对称图形；
（2）如图（2），AB与PQ、MN交于点E、F，根据等腰直角三角形和等边三角形的性质由PQ=$\sqrt{2}$t，MN=t得到AE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，得到OE=OA-AE=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，OF=OB-BF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，求得S=-$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$t²+（1+$\sqrt{6}$）t；
（3）当t=$\sqrt{2}$时，PQ=2，MN=$\sqrt{2}$，即点Q与D重合，如图（3），连接NQ交AB于G点，由于M关于AB的对称点为N，则GN=GM，所以GQ+GM=GN+GQ=NQ，根据两点之间线段最短得到此时G点使GQ+GM最小，建立如图（3）的直角坐标系，则D（2，0），再确定N点坐标，然后利用待定系数法求出直线NQ的解析式，接着确定G点坐标，于是可得到OG的长．

解答 解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴CO=DO，AC=AD，
∵∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=4，AP=AQ=BM=BN=t
∴△APG和△ACD为等腰直角三角形，△BMN和△BCD为等边三角形，
∴AO=CO=DO=2，BO=2$\sqrt{3}$，CB=DB=2，PQ=$\sqrt{2}$t，MN=t，
∵PQ∥CD，MN∥CD，
∴PQ∥MN，且PM=NQ，
∴当PQ=MN时，四边形PQMN为中心对称图形，则$\sqrt{2}$t=t，解得t=0，
∴不存在某一时刻，四边形PQMN既为轴对称图形，又为中心对称图形；

（2）如图（2），AB与PQ、MN交于点E、F，
∵PQ=$\sqrt{2}$t，MN=t，
∴AE=$\frac{1}{2}$PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$MN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴OE=OA-AE=2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t，OF=OB-BF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON
=$\frac{1}{2}$（t+$\sqrt{2}$t）•（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t+2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）-$\frac{1}{2}•$$\sqrt{2}$t•（2-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）-$\frac{1}{2}$t•（2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t），
∴S=-$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$t²+（1+$\sqrt{6}$）t；

如图（3），连接NQ交AB于G点，
∵M关于AB的对称点为N，
∴GN=GM，
∴GQ+GM=GN+GQ=NQ，
∴此时G点使GQ+GM最小，
建立如图3所示的直角坐标系，则D（2，0），
∵OF=2$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\sqrt{3}$，NF=$\frac{1}{2}$MN=1，
∴N（-1，-$\sqrt{3}$）
设直线NQ的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}=-k+b}\\{0=2k+b}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$
∴G（0，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
∴OG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握线段的垂直平分线的性质、矩形的判定方法、等腰直角三角形和等边三角形的性质；会利用面积的和差计算不规则图形的面积；能利用两点之间线段最短解决两线段和的最小值问题；学会运用函数思想解决数学问题．