Question

【题目】如图，二次函数的图象与轴交于点，与x轴负半轴交于B，与正半轴交于点，且．

（1）求该二次函数解析式；

（2）若是线段上一动点，作，交于点，连结当面积最大时，求点的坐标；

（3）若点为轴上方的抛物线上的一个动点，连接，设所得的面积为．问：是否存在一个的值，使得相应的点有且只有个，若有，求出这个的值，并求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在一个的值，使得相应的点有且只有个，这个的值为16，此时点的横坐标为4或．

【解析】

（1）先根据点A、C的坐标得出OA、OC的长，再根据相似三角形的判定与性质求出OB的长，从而可得点B的坐标，然后根据点B、C的坐标可设二次函数解析式的交点式，最后将点A的坐标代入求解即可得；

（2）先根据点B、C的坐标求出BC的长，从而可得面积，设，则，再根据相似三角形的判定与性质可得面积，然后利用面积减去面积可得面积，最后利用二次函数的性质即可得；

（3）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，设，从而可得，再分和两种情况，分别求出S与m之间的函数表达式，然后利用二次函数的性质求出S的取值范围，找出符合条件的S值即可．

（1）

又

，即

解得

点B的坐标为

由可设二次函数的解析式为

将代入得：

解得

则二次函数的解析式为

故二次函数的解析式为；

（2）

设，则

，即

由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为

故当面积最大时，点的坐标为；

（3）设直线AC的解析式为

将得，解得

直线AC的解析式为

设

因为点为轴上方的抛物线上的一个动点

所以

由题意，分以下两种情况：

①当时

如图1，过作轴于点，交于，则

则

由二次函数的性质可知，当时，S随m的增大而增大；当时，S随m的增大而减小

则此时S的最大值为，最小值为

即有

②当时

如图2，过作轴于点，交延长线于，则

则

由二次函数的性质可知，当时，S随m的增大而减小

则此时S的最大值为，最小值为

即有

由二次函数的图象与性质可得如下结论：

当时，在范围内没有相应的点，在范围内相应的点有1个，即共有1个

当时，在范围内相应的点有2个，在范围内相应的点有1个，即共有3个

当时，在范围内相应的点有1个，在范围内相应的点有1个，即共有2个

当时，在范围内没有相应的点，在范围内相应的点有1个，即共有1个

由此可知，当时，相应的点有且只有个

在范围内，当时，

在范围内，当时，，解得或（不符题设，舍去）

综上，存在一个的值，使得相应的点有且只有个，这个的值为16，此时点的横坐标为4或．