Question

【题目】如图，平行四边形中，，，∠，点是的中点，点在的边上，若为等腰三角形，则的长为__________．

Answer 1

【答案】或或6

【解析】

根据点P所在的线段分类讨论，再分析每种情况下腰的情况，然后利用直角三角形的性质和勾股定理分别求值即可．

解：①当点P在AB上时,由∠ABC=120°,此时只能是以∠PBE为顶角的等腰三角形,BP=BE,过点B作BF⊥PE于点F,如下图所示

∴∠FBE=∠ABC=60°,EP=2EF

∴∠BEF=90°－∠FBE=30°

∵，点是的中点

∴BE=

在Rt△BEF中，BF=

根据勾股定理：EF=

∴EP=2EF=；

②当点P在AD上时，过点B作BF⊥AB于F，过点P作PG⊥BC，如下图所示

∵∠ABC=120°

∴∠A=60°

∴∠ABF=90°－∠A=30°

在Rt△ABF中AF=，BF=

∴BP≥BF＞BE，EP≥BF＞BE

∴此时只能是以∠BPE为顶角的等腰三角形,BP=PE,

∴PG=BF=，EG=

根据勾股定理：EP=；

③当点P在CD上时，过点E作EF⊥CD于F，过点B作BG⊥CD

由②可知：BE的中垂线与CD无交点，

∴此时BP≠PE

∵∠A=60°，四边形ABCD为平行四边形

∴∠C=60°

在Rt△BCG中，∠CBG=90°－∠C=30°，CG=

根据勾股定理：BG=

∴BP≥BG＞BE

∵EF⊥CD，BG⊥CD，点E为BC的中点

∴EF为△BCG的中位线

∴EF=

∴此时只能是以∠BEP为顶角的等腰三角形,BE=PE=6．

综上所述：的长为或或6．

故答案为：或或6