Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（4，0）、（4，3），动点M、N分别从点O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，当两动点运动了t秒时．
（1）P点的坐标为

 

（用含t的代数式表示）；
（2）记△MPA的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜4）；
（3）当t=

 

秒时，S有最大值，最大值是

 

；
（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且△QAN为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形CPN中，根据CP的长和∠BPA的三角函数值求出CN、PN的长，即可表示出P点的坐标；
（2）三角形MPA中，MA的长易得出，MA上的高就是P点的纵坐标，由此可得出S，t的函数关系式；
（3）根据（2）的函数关系可得出S的最大值，及对应的t的值；
（4）本题要分三种情况进行讨论：①QN=NA；②AQ=AN；③QN=AQ；可设Q点的坐标，然后表示出NQ、NA、QA的长，根据上述三种情况中不同的等量关系可求出不同的Q点坐标，然后用待定系数法即可求出直线AQ的解析式．

解答：解：（1）（4-t，

3t

4

）；

（2）S=-

3

8

t²+

3

2

t（0＜t＜4）；

（3）由（2）知：S=-

3

8

t²+

3

2

t=-

3

8

（t-2）²+

3

2

，
因此当t=2时，S_max=

3

2

；

（4）由（3）知，当S有最大值时，t=2，此时N在BC的中点处，如图，
设Q（0，y），
∵△AOQ是直角三角形，
∴AQ²=16+y²，QN²=4+（3-y）²，AN²=13，
∵△QAN为等腰三角形，
①若AQ=AN，此时方程无解，
②若AQ=QN，解得y=-

1

2

，
③若QN=AN，解得y₁=0，y₂=6，
∴Q₁（0，-

1

2

），Q₂（0，0），Q₃（0，6），
当Q为（0，-

1

2

），直线AQ的解析式为y=

x

8

-

1

2

，
当Q为（0，0）时，A（4，0）、Q（0，0）均在x轴上，
直线AQ的解析式为y=0（或直线为x轴），
当Q为（0，6）时，Q、N、A在同一直线上，△ANQ不存在，舍去，
故直线AQ的解析式为y=

x

8

-

1

2

或y=0．

点评：本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、图形面积的求法及二次函数的应用等知识．要注意（4）题在不确定等腰三角形的腰和底的情况下，要分类讨论，不要漏解．