Question

如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，且DF：CF=1：3，连接EF并延长交BC的延长线于点G，
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer 1

（1）证明：设正方形的边长为a．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=a，∠A=∠D=90°，
∵E为边AD的中点，
∴AE=ED=a，
又∵DF：CF=1：3，
∴DF=a，
∴=，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵四边形ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴△DEF∽△CGF，
∴ED：GC=DF：FC=1：3，
∴GC=3ED．
又∵正方形的边长为4，点E是AD的中点，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
分析：（1）设正方形的边长为a．根据已知条件得到AE=ED=a，DF=a，则由“两边及夹角法”证得结论；
（2）由“平行线法”证得△DEF∽△CGF，所以由该相似三角形的对应边成比例可以求得CG=3ED，又由ED=AD=2，则易求BG的长度．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质．此题利用了“两边及夹角法”和“平行线法”证得图中的相似三角形的．