已知.在△ABC中.∠BAC=90°.∠ABC=45°.点D为直线BC上一动点．以AD为边做正方形ADEF.连接CF(1)如图1.当点D在线段BC上时．求证:CF+CD=BC,(2)如图2.当点D在线段BC的延长线上时.其他条件不变.请直接写出CF.BC.CD三条线段之间的关系,(3)如图3.当点D在线段BC的反向延长线上时.且点A.F分别在直线BC的两侧.其他条件不变,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；求CF，BC，CD三条线段之间的关系．

分析：（1）由等腰直角三角形和正方形的性质可以得出△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出结论；
（2）如图2，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CF=BC+CD；
（3）如图3，通过证明△ABD≌△ACF，就可以得出BD=CF，就可以得出CD=BC+CF．

解答：（1）证明：如图1，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠DAC=∠FAD-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB=AC

∠BAD=∠CAF

AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BC=BD+CD，
∴CF+CD=BC；

（2）CF=BC+CD
理由：解：如图2，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC+∠DAC=∠FAD+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中

，

AB=AC

∠BAD=∠CAF

AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵BD=BC+CD，
∴CF=BC+CD；

（3）CD=BC+CF
解：如图3，：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC．
∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=DE=EF=AF，∠FAD=90°，
∴∠BAC=∠FAD，
∴∠BAC-∠BAF=∠FAD-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF．
在△ABD和△ACF中，

AB=AC

∠BAD=∠CAF

AD=AF

，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF．
∵DC=BD+BC，
∴CD=CF+BC．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．