Question

如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2

3

，以AB为直径作⊙M，点C是优弧

AB

上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（　　）

• A．

  3

• B．2
• C．2

  3

  -2
• D．4-2

  3

Answer 1

分析：如图1，连OM，OB，OA，BD．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求出∠BOM的度数，∠C=∠BOM=60°．由“直径所对的圆周角是直角和30度角所对的直角边”可以求得CD=

1

2

BC．当BC取最大值时，CD最大．

解答：解：如图：连接OM，OB，OA，BD．
则在Rt△OMB中，
∵OB=2，MB=

3

，
∴OM=1．
∵OB=2，
∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
连接OA．则∠AOB=120°．
∴∠C=

1

2

∠AOB=60°．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°，
∴∠CBD=30°，
∴CD=

1

2

BC，
∴当BC取最大值时，CD最大．
如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC=4．
∴CD_最大=2．
故选B．

点评：本题综合考查了相交两圆的性质，垂径定理，圆周角定理以及含30度角的直角三角形．根据题意推知点A与点D重合时，CD可以取得最大值是解题的难点．