Question

5．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

Answer 1

分析 （1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．

解答 解：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600；

（2）P=（x-40）（-20x+1600）=-20x²+2400x-64000=-20（x-60）²+8000，
∵x≥45，a=-20＜0，
∴当x=60时，P_最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；

（3）由题意，得-20（x-60）²+8000=6000，
解得x₁=50，x₂=70．
∵抛物线P=-20（x-60）²+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=-20x+1600中，k=-20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y_最小值=-20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒．

点评 本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．