题目内容

如图，△AP₁B中，BP₁⊥AP₁，AP₁=2，∠A=30°，P₁Q₁⊥AB，Q₁P₂⊥AP₁，P₂Q₂⊥AB，Q₂P₃⊥AP₁…，P_nQ_n⊥AB，P_n+1Q_n⊥AP₁，则S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…的值为

A.
2
B.
3
C.
4
D.
8

C
分析：在Rt△AP₁Q₁中，由AP₁=2，∠A=30°，求P₁Q₁，再由30°的直角三角形中，P₂Q₂=P₂Q₁•cos30°=P₁Q₁•cos30°•cos30°=（ $\text{[math]}$ ）²P₁Q₁= $\text{[math]}$ P₁Q₁，得出一般规律，再求和．
解答：在Rt△AP₁Q₁中，∵AP₁=2，∠A=30°，
∴P₁Q₁= $\text{[math]}$ AP₁=1，
由30°的直角三角形的性质可知，
P₂Q₂= $\text{[math]}$ P₁Q₁= $\text{[math]}$ ，P₃Q₃= $\text{[math]}$ P₂Q₂=（ $\text{[math]}$ ）²，…，P_nQ_n=（ $\text{[math]}$ ）^n-1，
∴S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…=1+ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²+…+（ $\text{[math]}$ ）^n-1+…，①
①× $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$ S= $\text{[math]}$ +1+ $\text{[math]}$ +（ $\text{[math]}$ ）²+…+（ $\text{[math]}$ ）^n-2+…，②
②-①得 $\text{[math]}$ S-S= $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ ）^n-1…，
当n较大时，（ $\text{[math]}$ ）^n-1接近0，此时， $\text{[math]}$ S-S= $\text{[math]}$ ，
解得S=4．
故选C．
点评：本题考查了图形的变化，含30°的直角三角形的性质．关键是由易到难，由特殊到一般找出线段长度的变化规律．