Question

如图，△AP₁B中，BP₁⊥AP₁，AP₁=2，∠A=30°，P₁Q₁⊥AB，Q₁P₂⊥AP₁，P₂Q₂⊥AB，Q₂P₃⊥AP₁…，P_nQ_n⊥AB，P_n+1Q_n⊥AP₁，则S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…的值为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．8

Answer 1

分析：在Rt△AP₁Q₁中，由AP₁=2，∠A=30°，求P₁Q₁，再由30°的直角三角形中，P₂Q₂=P₂Q₁•cos30°=P₁Q₁•cos30°•cos30°=（

3

2

）²P₁Q₁=

3

4

P₁Q₁，得出一般规律，再求和．

解答：解：在Rt△AP₁Q₁中，∵AP₁=2，∠A=30°，
∴P₁Q₁=

1

2

AP₁=1，
由30°的直角三角形的性质可知，
P₂Q₂=

3

4

P₁Q₁=

3

4

，P₃Q₃=

3

4

P₂Q₂=（

3

4

）²，…，P_nQ_n=（

3

4

）^n-1，
∴S=P₁Q₁+P₂Q₂+…+P_nQ_n+…=1+

3

4

+（

3

4

）²+…+（

3

4

）^n-1+…，①
①×

4

3

得，

4

3

S=

4

3

+1+

3

4

+（

3

4

）²+…+（

3

4

）^n-2+…，②
②-①得

4

3

S-S=

4

3

-（

3

4

）^n-1…，
当n较大时，（

3

4

）^n-1接近0，此时，

4

3

S-S=

4

3

，
解得S=4．
故选C．

点评：本题考查了图形的变化，含30°的直角三角形的性质．关键是由易到难，由特殊到一般找出线段长度的变化规律．