题目内容

如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线l₁：y=x²和点A（1，2）、B（3，1）．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过点A，写出平移后的一个抛物线的函数表达式；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线经过A、B两点，记平移后的抛物线为l₂．如图②所示，请在图②上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形？若存在，找出满足条件的点P（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线l₂的顶点为C，如图③，若K是y轴上一点，且S_△ABC=S_△AKC，求点K的坐标．

解（1）有多种答案，符合条件即可．
例如y=x²+1，y=²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，

（2）作图痕迹如图所示．

由图可知，点P共有4个可能的位置．

（3）设抛物线l₂的函数表达式为y=x²+bx+c，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l₂上，
∵ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故抛物线l₂的函数表达式为y=x²- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
故C点的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，CF= $\text{[math]}$ ，BE=1，DE=2，DF= $\text{[math]}$ ，EF= $\text{[math]}$ ，
则S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB= $\text{[math]}$ （2+1）×2- $\text{[math]}$ （2+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n，

∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故直线AB的函数表达式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
故G点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）
设K点坐标为（0，h），分两种情况：
①若K点位于G点的上方，则KG=h= $\text{[math]}$ ，
连接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG= $\text{[math]}$ ×3×（h- $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ×1×（h- $\text{[math]}$ ）=h- $\text{[math]}$ ，
∵S_△ABK=S_△ABC= $\text{[math]}$ ，
∴h- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得h= $\text{[math]}$ ，
则K点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）
②若K点位于G点的下方，则KG=h- $\text{[math]}$ ，
同理可得，h= $\text{[math]}$ ，
则K点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
综上可知K点的坐标为（0， $\text{[math]}$ ）或（0， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）本题答案不唯一，符合条件均可；
（2）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平行线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点；
（3）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l₂的函数表达式，再通过求三角形的面积来求K的坐标．由于△ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．
点评：本题考查了二次函数图象的平移、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识．综合性强，难度较大．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差进行求解．