Question

已知整数a，b满足|a-b|+（a+b）²=p，且p是质数，则符合条件的整数（　　）

• A、5对
• B、6对
• C、7对
• D、8对

Answer 1

分析：当a，b为整数时，a+b与a-b同奇偶，所以|a+b|+（a-b）²=P必为偶数．在质数中，唯一的偶质数只有2一个，故P=2．然后利用非负数的性质讨论即可得到a、b的取值，接着就可以解决问题．

解答：解：∵整数a，b满足|a-b|+（a+b）²=p，
而a+b与a-b同奇偶，
∴|a-b|与（a+b）²同奇偶，
∴|a+b|+（a-b）²=P必为偶数．
在质数中，唯一的偶质数只有2一个，
故P=2．
则|a+b|+（a-b）²=2，
∵任何整数的平方最小是0，然后是1，4，9…，
∴此处的（a-b）²只有0和1两个选择：
①当（a-b）²=0，则|a+b|=2，
解得：a=b，所以|2b|=2，|b|=1，则a=b=±1；
②（a-b）²=1，则|a+b|=1，
解得：a-b=±1，a+b=±1，
组成4个方程组：
 

a-b=1 a+b=1

，
解之得：a=1，b=0；

a-b=1 a+b=-1

，
解之得：a=0，b=-1；

a-b=-1 a+b=1

，
解之得：a=0，b=1；

a-b=-1 a+b=-1

，
解之得：a=-1，b=0．
∴符合条件的整数对（a，b）共有6对：（1，1），（-1，-1），（1，0），（0，-1），（0，1），（-1，0）．
故选B．

点评：本题主要考查了质数与合数的性质，解题时首先利用偶质数2的性质得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可求解．