题目内容
在等边△ABC中，点D为AC上一点，连接BD，直线l与AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60度．（1）如图1，写出图中所有与△BPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；
（2）若直线l向右平移到图2，图3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由；
（3）探究：如图1，当BD满足什么条件时（其它条件不变），PF=
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究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）
分析：（1）△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD这两组三角形都可由一个公共角和一组60°角来证得．
（2）成立，证法同（1）．
（3）先看PF=
PE能得出什么结论且∠BPF=60°，因为∠PFB=90°，所以∠PBF=90-60=30°，因此当BD平分∠ABC时，PF=
PE．
（2）成立，证法同（1）．
（3）先看PF=
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解答：（1）答：△BPF∽△EBF与△BPF∽△BCD．
以△BPF∽△EBF为例，
证明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．
（2）解：均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．
（3）BD平分∠ABC时，PF=
PE．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=
PB．
又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=
PE．
以△BPF∽△EBF为例，
证明如下：
∵∠BPF=∠EBF=60°，∠BFP=∠BFE，
∴△BPF∽△EBF．
（2）解：均成立，均为△BPF∽△EBF，△BPF∽△BCD．
（3）BD平分∠ABC时，PF=
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证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBF=30°．
∵∠BPF=60°，
∴∠BFP=90°．
∴PF=
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又∵∠BEP=∠BPF-∠EBP=60°-30°=30°=∠ABP，
∴BP=EP，
∴PF=
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点评：本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识点．
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22、如图，在等边△ABC中，点D为AC中点，以AD为边作菱形ADEF，且AF∥BC，连接FC交DE于点G．
如图，在等边△ABC中，点D为AC上一点，连结AB，BD，BC分别相交于点E，P，F，且∠BPF=60°
已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°到线段AD，连接BD，下列结论：