Question

如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C在AB上以每秒1个单位的速度从点B向点A运动，同时点D在线段AO上以同样的速度从点A向点O运动，运动时间用t（单位：秒）表示．
（1）求AB的长；
（2）当t为何值时，△ACD与△ABO相似？并直接写出此时点C的坐标．

Answer 1

解：（1）当x=0时，y=3；当y=0时，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB==5；

（2）依题意BC=t，AC=5-t，AD=t，
若△ACD∽△ABO相似，
∴，
代入得：
，
解得：t=，
∴点C的横坐标也就是AO-AD=AO-t=4-=，
再把x=带入一次函数解析式，得y=．
∴此时C（，）
若△ACD∽△AOB相似，
，
，
∴t=，
AC=5-t=，
再过C点做CE⊥OA于E，
然后△ACE∽ABO，
=，
即=，
解得AE=，
∴OE=AO-AE=4-=，
而且又∵=，即=．
解得CE=．所以C（，）
∴C（，）或（，）
分析：（1）首先容易求出A，B两点的坐标，然后求出OA，OB的长度，再利用勾股定理求AB；
（2）先用t分别表示AC，AD的长度，再根据相似的性质可以列出关于t的方程，解方程就可以求出点C的坐标；
点评：此题主要考查了一次函数的综合知识，另外还考查了勾股定理的计算及相似三角形的性质．题目难度适中．