Question

【题目】如图，在矩形中，是上一点，垂直平分，分别交、、于点、、，连接、.

(1)求证：；

(2)求证：四边形是菱形；

(3)若，为的中点，，求的长.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB＝PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP；

（2）由（1）得出PE＝QB，证出四边形BPEQ是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；

（3）根据三角形中位线的性质可得AE＋BE＝2OF＋2OB＝18，设AE＝x，则BE＝18x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，BE＝10，得到，设PE＝y，则AP＝8y，BP＝PE＝y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得，解得，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得，由PQ＝2PO即可求解．

解：(1)∵垂直平分，

∴，，

∵四边形是矩形，

∴，

∴，

在与中，，

∴，

(2)∵

∴，

又∵，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形；

(3)∵，分别为，的中点，

∴，

设，则，在中，，

解得，，

∴，

设，则，，

在中，，

解得，

在中，，

∴.