题目内容

如图，菱形ABCD的边长为24厘米，∠A＝60°，质点P从点A出发沿线路ABBD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DCCBBA作匀速运动．

(1)求BD的长；

(2)已知质点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒、5厘米/秒，经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由；

(3)设题(2)中的质点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为a厘米/秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题(2)中的△AMN相似，试求a的值．

答案：
解析：

　　(1)菱形ABCD中，AB=AD，∠A=，∴△ABD是等边三角形．∴BD=24厘米

　　(2)△AMN是直角三角形，确定理由如下：12秒后，点P运动到点M走过的路程为4×12=48(厘米)，∵AB+BD=48厘米，

∴点M与点D重合，点Q运动到点N走过的路程为5×12=60(厘米)，∵DC＋CB+AB=60厘米

　　∴点N是AB的中点，连结MN，∵AM=MB，AN=BN

　　∴MN⊥AB，∴△AMN是直角三角形

　　(3)点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12(厘米)，∵BD=12厘米

　　∴点E是BD的中点，点Q从N点返回3秒走过的路程为3a厘米，∵△BEF与题(2)中的Rt△AMN相似，又∠EBF=∠A=，①若∠BFE=∠ANM=．

　　(Ⅰ)当点F在BN上时，BF=BN－FN=12－3a，(法1)∵△BEF∽△AMN

　　∴，∴，解得a=2；(法2)在Rt△BEF中．∠BEF＝，∴BF=BE．∴12－3a=×12，解得a=2

　　(Ⅱ)当点F在BC上时，BF＝3a－BN=3a－12，(法1)∵△BEF∽△AMN．∴，∴，解得a=6；(法2)在Rt△BEF中，∠BEF=，∴BF=BE，∴3a－12=×12，解得a=6；②若∠BEF=∠ANM=，即点F与点C重合．此时3a=BN=+BC=36，∴3a=36，∴a=12．综上所述，a=2或6或12．


练习册系列答案
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精英家教网如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为
 
．
精英家教网如图，菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，∠ABD=α，则下列结论正确的是（　　）
A、sinα=
4
5
B、cosα=
3
5
C、tanα=
4
3
D、tanα=
3
4
如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．
（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；
（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；
（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；
（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．
如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠B=60°，P、Q同时从A点出发，点P以1cm/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2cm/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动．当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒，△APQ与△ABC重叠部分的面积为ycm2（规定：点和线段是面积为0的三角形）．
（1）当x=
8
8
秒时，P和Q相遇；
（2）当x=
（12-4
3
）
（12-4
3
）
秒时，△APQ是等腰直角三角形；
（3）当x=
32
3
32
3
秒时，△APQ是等边三角形；
（4）求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
已知：如图，菱形ABCD的周长为8cm，∠ABC：∠BAD=2：1，对角线AC、BD相交于点O，求BD及AC的长．

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