Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0<t<6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t 的式子表示AE、AD的长；

（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？

（4）如图②，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形 AEA′D为菱形？并判断此时点A是否在BC上？请说明理由．

          图①                                                   图②                     

Answer 1

解：（1）AE=t     AD=12－2t         

           （2）∵ DF⊥BC，∠C=30°

                ∴ DF=CD=×2t = t

 ∵ AE =t

 ∴ DF= AE  

                ∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC

                ∴ DF∥AE                  

∴ 四边形AEFD是平行四边形；        

 （3）①显然 ∠DFE < 90°;   

               ②如图（1），当∠EDF = 90°时，四边形EBFD为矩形，

                  此时 AE =AD    ∴   ∴               

 ③如图（2），当∠DEF = 90°时，此时∠ADE = 90°

                  ∴∠AED = 90°－∠A=30°

                  ∴AD =AE        ∴   

∴

               综上：当秒或秒时，⊿DEF为直角三角形；

      

 

（4）

               图（3）

如图（3），若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD

∴t=12－2t

∴t=4

∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形

设EA′交BC于点G

在Rt△EBG中，∠BEG=180°－∠AEG=60°

∴GE=2BE

∵BE=AB－AE=6－4=2

∴GE=4=EA′

∴点G与点A′重合

∴点A在BC上