Question

如图，矩形OABC的两边OC、OA分别是x轴和y轴上，过点B的直线切以OC为直径的半圆O′于点E，交y轴于点F，连接OE，且已知C（-6，0），F（0，2）．
（1）求EF的长；
（2）求经过B、F两点的直线的解析式；
（3）求tan∠EOF的值．

Answer 1

分析：（1）由题意知FO是圆的切线，则由切线长定理知，EF=OF=2；
（2）由题意设出直线BF的解析式，由O点到直线距离为3，求得B点的坐标，设E（a，2-

5

12

a），由勾股定理求得a的值，进而得到直线BF的解析式；
（3）作EM垂直于y轴于点M，由正切的概念求得tan∠EOF的值．

解答：解：（1）由题意知，AO⊥CO，CO是半圆的直径，
∴FO是半圆的切线，
∵AB是切线，点E是切点，
∴EF=OF=2；

（2）已知C（-6，0），设点B（-6，b），F（0，2），
∴BF直线解析式为：y=

2-b

6

x+2，
∵OE⊥BF，
∴O点到直线距离为3，
又∵O′（-3，0），
∴3=

2-b 6 ×(-3)+2

1+( 2-b 6 )2

，
∴b=

9

2

，
∴B（-6，

9

2

），
设E（a，2-

5

12

a），
又∵|OE|=3，
∴

(a+3)2+(2- 5 12 a)2

=3，
∴a=-

24

13

，
∴E（-

24

13

，

36

13

），
∴BF直线解析式为：y=

2-b

6

x+2把b=

9

2

代入，得：
y=-

5

12

x+2；

（3）由图形几何关系，作EM垂直于y轴于点M，
∴tan∠EOF=

EM

OM

=

|- 24 13 |

36 13

=

2

3

．

点评：此题主要考查一次函数的基本性质及圆的性质，直线与圆相切的问题，巧妙设点从而减少未知量，还考查了学生的计算能力．