Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=6，∠ABE=60°．

①求AD的长； ②求出图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）①AD=4.5 ②S阴影=

【解析】

解：（1）证明：∵CD切⊙O于E

∴∠3=∠4

∵AB是直径

∴∠AEB=90 °，

又∵AD⊥CD

∴∠D=90 °，

∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4，

∴∠1=∠2，即AE平分∠DAC；

（2）①Rt△ABE中，AE=ABsin∠4=6×sin60°=6×=，

Rt△AED中，AD=AEsin∠3=×sin60°=×=4.5；

②连结OE，则有∠AOE=2∠4=120°

∴，

Rt△ABE中，∠2=90° ∠4=30°，

作EH⊥AB于点H，则EH=AEsin30°=，

∴，

∴.